Makalah Penerapan Matematika dalam Ekonomi

BAB I

PENDAHULUAN

Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan diferensial dapat pula disidik kedudukan – kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik maksimum, titik belok dan titik minimumnya jika ada. Berdasarkan manfaat – manfaat inilah konsep diferensial menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting dalam bisnis dan ekonomi. Sebagaimana diketahui, analisis dalam bisnis dan ekonomi sangat akrab dengan masalah perubahan, penentuan tingkat maksimum dan tingkat minimum.

Pendekatan kalkulus diferensial amat berguna untuk menyidik bentuk gambar suatu fungsi non linear. Dengan mengetahui besarnya harga dari turunan pertama (first derivative) sebuah fungsi, akan dapat dikenali bentuk gambar dari fungsi tersebut. Secara berurutan seksi-seksi berikut akan membahas hubungan antara fungsi non linear dan derivative pertamanya, guna mengetahui apakah kurvanya menaik atau kan menurun pada kedudukan tertentu; hubungan antara fungsi parabolic dan derivativenya, guna mengetahui letak dan bentuk titik ekstrimnya (maksimum atau minimum) serta hubungan antara fungsi kubik dan derivativenya guna mengetahui letak dan bentuk titik ekstrim serta letak titik beloknya. Akan tetapi sebelum semua itu, marilah kita perhatikan hubungan secara umum antara sebuah fungsi dan fungsi-fungsi turunannya.

Berdasarkan kaidah deferensi, dapat disimpulkan bahwa turunan dari suatu fungsi berderajat “n” adalah sebuah fungsi berderajat “n-1”. Dengan perkataan lain, turunan dari fungsi berderajat 3 adalah sebuah fungsi berderajat 2, turunan dari fungsi berderajat 2 adalah sebuah fungsi berderajat 1, turunan dari fungsi berderajat 1 adalah sebuah fungsi berderajat 0 alias sebuah konstanta, dan akhirnya turunan dari sebuah konstanta adalah 0.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1       Pengertian Diferensial

            Darivatif atau turunan  tidak dianggap sebagai suatu hasil bagi atau pecahan dengan  sebagai pembilang dan dx sebagai penyebut, melainkan sebagai lambang yang menyertakan limit dari , sewaktu  mendekati nilai nol sebagai limit. Akan tetapi untuk dapat memahami masalah – masalah tertentu kadang – kadang bermanfaat juga untuk menafsirkan dx dan dy secara terpisah. Dalam hubungan ini dx menyatakan diferensial x dan dy diferensial y. pengertian diferensial berguna sekali, misalnya dalam aplikasinya pada kalkulus integral dan pada pendekatan perubahan dalam variabel gayut yang berkaitan dengan perubahan – perubahan kecil dalam variabel bebas.

            Jika fَ (x) merupakan derivative dari fungsi f(x) untuk nilai x tertentu dan  merupakan kenaikan dalam x, maka diferensial dari f(x), yang dalam hal ini ditulis f(x), terdefinisikan oleh persamaan.

df (x) = fَ (x) .

Jika f(x) = x, maka fَ (x) = 1, dan dx = . Jadi jika x merupakan variabel bebas, maka diferensial dx dari x sama dengan .

Jika y = f(x), maka

dy = fَ (x) dx =  dx

Jadi diferensial suatu variabel gayut sama dengan hasil kali turunannya dengan diferensial variabel bebas.

Secara geometrical perhatikanlah kurva y = f(x) (lihat gambar 9 dibawah ini), dan misalkan turunannya pada titik P = fَ (x). Maka dx = PQ dan dy = fَ (x) = ( )(PQ) =

Oleh karena itu dy atau df (x) adalah kenaikan ordinat dari tangens yang berpadanan dengan dx. Argumentasi geometrical ini membawa kita kepada penfsiran derivative sebagai suatu hasil bagi atau pecahan, jika sembarang kenaikan dari variabel bebas x pada suatu titik P (x,y) pada kurva y = f(x) dinyatakan dengan dx, maka dalam rumusan turunannya.

 = fَ (x) = ( )

dy menyatakan kenaikan yang berpadan dari koordinat tangens pada P.

Perhatikan, bahwa diferensial dy dan kenaikan  dari fungsi yang berpadan dengan nilai dx =  yang sama, pada umumnya tidaklah sama. Dalam gambar.9 disamping dy = QT sedang  = QPَ

Dari gambar itu dapat dilihat dengan jelas, bahwa    = QP', dan dy = QT kurang lebih sama, jika   = PQ sangatlah kecil. Pada hakekatnya jika variabel bebas kecil sekali perubahannya, maka diferensial fungsi itu hamper sama dengan kenaikan fungsi. Jika diferensial fungsi dapat dipakai untuk mendekati perubahannya, apabila perubahan variabel bebas keci sekali.

2.2       Penerapan Diferensial Ekonomi

2.2.1    Elastisitas

            Elastisitas dari suatu fungsi  berkenaan dengan x dapat didefinisikan sebagai :

Ini berarti bahwa elastisitas  merupakan limit dari rasio antara perubahan relative dalam y terhadap perubahan relative dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil atau mendekati nol. Dengan terminology lain, elastisitas y terhadap x dapat juga dikatakan sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap perubahan x.

a)      Elastisitas Permintaan

Elastisitas permintaan (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga permintaan, price elasticity of demand) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Q_d = f(P), maka elastisitas permintaannya :

Dimana  tak lain adalah Q'_d  atau f'(P)

            Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila , elastic – uniter jika , dan inelastic bila . Barang yang permintaanya elastic mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut berubah sebesar persentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akan berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan harganya.

Contoh kasus:

      Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan Q_d = 25 – 3 P² . tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 5.

            Q_d = 25 – 3 P^{2                            .}

                          

ηd = 3 berarti bahwa apabila, dari kedudukan P = 5, harga naik (turun) sebesar 1 persen maka jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 3 persen.

b)      Elastisitas Penawaran

Elastisitas penawaran (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga penawaran, price elasticity of supply) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Q_s = f(P), maka elastisitas penawarannya :

Dimana  tak lain adalah Q'_s  atau f'(P).

      Penawaran suatu barang dikatakan bersifat

elastic apabila , elastic – uniter jika  dan inelastic bila . Barang yang penawarannya inelastic mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut (secara searah) dengan persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan harganya.

Contoh kasus :

      Fungsi penawaran suatu barang dicerminkan oleh Q_s = -200 + 7 P². Berapa elastisitas penawarannya pada tingkat harga P = 10 dan P = 15 ?

Q_s = -200 + 7 P²                        

Q^’_s = dQ_s / dP = 14 P

Pada P = 10,       

Pada P = 15,       

 berarti bahwa apabila dari kedudukan P = 10, harga naik (turun) sebesar 1 % maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak 2,8%

Dan  berarti bahwa apabila dari kedudukan P = 15, harga naik (turun) sebesar 1% maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak 2,3%

c)      Elastisitas Produksi

Elastisitas produksi ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah masukan. Jika P melambangkan jumlah produk yang dihasilkan sedangkan X melambangkan jumlah factor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(X), maka efisiensi produksinya :

Dimana  adalah produk marjinal dari X [P' atau f' (X)].

Contoh kasus :

      Fungsi produksi suatu barang ditunjukan oleh persamaan P = 6 X² – X³. Hitunglah elastisitas produksinya pada tingkat penggunaan factor produksi sebanyak 3 unit dan 7 unit.

                        P = 6 X² – X³       P’ = dP / dX = 12 X – 3 X²

                       

Pada X = 3,    

Pada X = 7,   

 berarti bahwa, dari kedudukan X = 3, maka jika jumlah input dinaikkan (diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebanyak 1 %

Dan   berarti bahwa, dari kedudukan X = 7, maka jika jumlah input dinaikkan (diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebanyak 9 %

2.2.2    Pendapatan Konsumsi

Dalam ekonomi makro, pendapatan masyarakat suatu negara secara keseluruhan (pendapatan nasional) dialokasikan ke dua kategori penggunaan, yakni dikonsumsi dan ditabung. Jika pendapatan dilambang dengan Y, sedangkan konsumsi dan tabungan  masing – masing dilambangkan dengan C dan S, maka kita dapat merumuskan persamaan:

Y = C + S

Baik konsumsi nasional maupun tabungan nasional pada umumnya dilambangkan sebagai fungsi linear dari pendapatan nasional. Keduanya berbanding lurus dengan pendapatan nasional. Semakin besar pendapatan nasional maka konsumsi dan tabungan akan semakin besar pula. Sebaliknya apabila pendapatan berkurang, konsumsi dan tabungan pun akan berkurang pula, sehingga :

DY = ¶C + ¶S à diferensial

Karena ¶C + ¶S = dY à dY/dY = ¶C/dY + ¶S/dY à derivasi

¶C/dY = MPC (Marginal Propensity to Consume)

¶S/dY = MPS (Marginal Propensity to Save)

Sehingga terbukti bahwa MPC + MPS = 1

2.2.3    Pendapatan Tabungan

            Konsep diferensial dengan mudah dapat diperluas menjadi fungsi yang terdiri dari dua atau lebih variabel bebas. Perhatikan fungsi tabungan berikut ini :

S = S (Y,i)

Dimana S adalah tabungan (savings). Y adalah pendapatan nasional (national income), dan i adalah suku bunga (interes rate). Fungsi ini kita asumsikan seperti semua fungsi yang akan kita gunakan disini diasumsikan kontinu dan memiliki derivative (parsial) kontinu, atau secara simbolis, f Є C'. Derivatif parsial  mengukur kecenderungan marginal (marginal propensity to save). Jadi, untuk semua perubahan dalam Y, dY, perubahan S hasilnya dapat diaproksima dengan kuantitas . Demikian juga jika perubahan dalam i, di kita dapat  sebagai aproksimasi untuk menentukan perubahan S yang dihasilkan. Jadi perubahan total dalam S diaproksimsi dengan diferensial

Atau dengan menggunakan notasi yang lain,

Perhatikan bahwa kedua derivative parsial S_y dan S_i kembali menaikan peran sebagai “pengubah” yang masing – masing mengubah dY dan di menjadi dS yang bersesuaian. Pernyataan dS, yang merupakan jumlah perubahan – perubahan  hasil aproksimasi dari kedua sumber, disebut diferensial total dari fungsi tabungan. Dan proses untuk mencari diferensial total ini disebut diferensiasi total (total differentiation), sebaliknya kedua komponen yang ditambahkan di ruas kanan disebut sebagai diferensial parsial dari fungsi tabungan.

            Tentu saja ada kemungkinan dimana Y dapat berubah sedangkan i konstan. Dalam hal ini di = 0 dan diferensial total akan disederhanakan menjadi diferensial parsial:  . Dengan membagi kedua sisi persamaan dengan dY diperoleh

)_{i konstan}

BAB III

PENUTUP

Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Derivasi adalah hasil yang diperoleh dari proses diferensiasi.

Dalam ekonomi makro, pendapatan masyarakat suatu negara secara keseluruhan (pendapatan nasional) dialokasikan ke dua kategori penggunaan, yakni dikonsumsi dan ditabung. Jika pendapatan dilambang dengan Y, sedangkan konsumsi dan tabungan  masing – masing dilambangkan dengan C dan S, maka kita dapat merumuskan persamaan: Y = C + S

Semakin besar pendapatan nasional maka konsumsi dan tabungan akan semakin besar pula. Sebaliknya apabila pendapatan berkurang, konsumsi dan tabungan pun akan berkurang pula, sehingga : DY = ¶C + ¶S à diferensial

            S = S (Y,i), dimana S adalah tabungan (savings). Y adalah pendapatan nasional (national income), dan i adalah suku bunga (interes rate).

Demikian juga jika perubahan dalam i, di kita dapat  sebagai aproksimasi untuk menentukan perubahan S yang dihasilkan. Jadi perubahan total dalam S diaproksimsi dengan diferensial

DAFTAR PUSTAKA

Dumairy, “Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi”, edisi kedua, BPFE, Yogyakarta, 1991

http://books.google.co.id/books?id=_atldTGGzNQC&printsec=frontcover